1.    
  2.    
  3.     Ентропія? Це просто!

Ентропія? Це просто!

08.08.2018

Ентропія. Мабуть, це одне з найскладніших для розуміння понять, з якими ви можете зустрітися в курсі фізики, принаймні якщо говорити про класичної фізики. Мало хто з випускників фізичних факультетів може пояснити, що це таке.

Більшість проблем з розумінням ентропії, однак, можна зняти, якщо зрозуміти одну річ. Ентропія якісно відрізняється від інших термодинамічних величин: таких як тиск, об’єм або внутрішня енергія, тому що є властивістю не системи, а того, як ми цю систему розглядаємо. На жаль в курсі термодинаміки її зазвичай розглядають нарівні з іншими термодинамічними функціями, що посилює нерозуміння.

Ентропія? Це просто!
Так що ж таке ентропія?

Якщо в двох словах, то

Ентропія — це те, як багато інформації вам не відомо про систему

Наприклад, якщо ви запитаєте мене, де я живу, і я відповім: в Росії, то моя ентропія для вас буде висока, все-таки Росія-велика країна. Якщо ж я назву вам свій поштовий індекс: 603081, то моя ентропія для вас знизиться, оскільки ви отримаєте більше інформації.

Ентропія вашого знання про мене знизилася приблизно на 6 символів.

Поштовий індекс містить шість цифр, тобто я дав вам шість символів інформації. Ентропія вашого знання про мене знизилася приблизно на 6 символів. (Насправді, не зовсім, тому що деякі індекси відповідають більшій кількості адрес, а деякі — меншого, але ми цим знехтуємо).

Або розглянемо інший приклад. Нехай у мене є десять гральних кісток (шестигранних), і викинувши їх, я вам повідомляю, що їх сума дорівнює 30. Знаючи це, ви не можете сказати, які конкретно цифри на кожній з кісток — вам не вистачає інформації. Ці конкретні цифри на кістках у статистичній фізиці називають микросостояниями, а загальну суму (30 в нашому випадку) — макросостоянием. Існує 2 930 455 станів, які відповідають сумі, що дорівнює 30. Так що ентропія цього макростани дорівнює приблизно 6,5 символів (половинка з’являється з-за того, що при нумерації мікростанів за порядком у сьомому розряді вам доступні не всі цифри, а лише 0, 1 і 2).
А що якби я вам сказав, що сума дорівнює 59

А що якби я вам сказав, що сума дорівнює 59? Для цього макростани існує всього 10 можливих мікростанів, так що його ентропія дорівнює одному символу. Як бачите, різні макростани мають різні ентропії.

Нехай тепер я вам скажу, що сума перших п’яти кісток 13, а сума інших п’яти — 17, так що загальна сума знову 30. У вас, однак, в цьому випадку є більше інформації, тому ентропія системи для вас повинна впасти. І, дійсно, 13 на п’яти кістках можна отримати 420-ма різними способами, а 17 — 780-ю, тобто повне число мікростанів складе всього лише 420х780 = 327 600. Ентропія такої системи приблизно на один символ менше, ніж у першому прикладі.

Ми вимірюємо ентропію як кількість символів, необхідних для запису числа мікростанів. Математично ця кількість визначається як логарифм, тому позначивши ентропію символом S, а число мікростанів символом Ω, ми можемо записати:

S = log Ω

Це є ніщо інше як формула Больцмана (з точністю до множника k, який залежить від вибраних одиниць вимірювання) для ентропії. Якщо макросостоянию відповідають одне мікростан, його ентропія по цій формулі дорівнює нулю. Якщо у вас є дві системи, то повна ентропія дорівнює сумі ентропії кожної з цих систем, тому що log(AB) = log A + log B.
Людвіг Больцман
Людвіг Больцман

З наведеного вище опису стає зрозуміло, чому не слід думати про ентропії як про власний властивості системи. У системи є певні внутрішня енергія, імпульс, заряд, але у неї немає певної ентропії: ентропія десяти кісток залежить від того, чи відома вам тільки їх повна сума, або також і приватні суми п’ятірок кісток.

Іншими словами, ентропія — це те, як ми описуємо систему. І це робить її відмінною від інших величин, з якими прийнято працювати у фізиці.

Фізичний приклад: газ під поршнем

Фізичний приклад: газ під поршнем

Класичною системою, яку розглядають у фізиці, є газ, що знаходиться в посудині під поршнем. Мікростан газу — це положення і імпульс (швидкість) кожної його молекули. Це еквівалентно тому, що ви знаєте значення, що випало на кожній кістки в розглянутому раніше прикладі. Становище газу описується такими величинами як тиск, щільність, об’єм, хімічний склад. Це як сума значень, що випали на кістках.

Величини, що описують становище, можуть бути пов’язані один з одним через так зване «рівняння стану». Саме наявність цього зв’язку дозволяє, не знаючи мікростанів, передбачати, що буде з нашою системою, якщо почати її нагрівати або переміщати поршень. Для ідеального газу рівняння стану має простий вигляд:

p = ρT

хоча ви, ймовірно, краще знайомі з рівнянням Клапейрона — Менделєєва pV = νRT — це те ж саме рівняння, тільки з додаванням пари констант, щоб вас заплутати. Чим більше мікростанів відповідають даним макросостоянию, тобто чим більше частинок входять до складу нашої системи, тим краще рівняння стану її описує. Для газу характерні значення числа частинок дорівнюють числу Авогадро, тобто складають порядка 1023.

Величини типу тиску, температури і щільності називаються приблизними, оскільки є усередненим проявом постійно змінюючих один одного станів, що відповідають даним макросостоянию (або, вірніше, близьким до нього макросостояниям). Щоб дізнатися в якому микросостоянии знаходиться система, нам треба дуже багато інформації — ми повинні знати положення і швидкість кожної частки. Кількість цієї інформації і називається ентропією.

Як змінюється ентропія зі зміною макростани? Це легко зрозуміти. Наприклад, якщо ми трохи нагріємо газ, то швидкість його частинок зросте, отже, зросте і ступінь нашого незнання про цю швидкості, тобто ентропія зросте. Або, якщо ми збільшимо обсяг газу, швидко відвівши поршень, збільшиться ступінь нашого незнання положення частинок, і ентропія також зросте.

Тверді тіла і потенційна енергія

Якщо ми розглянемо замість газу якесь тверде тіло, особливо з впорядкованою структурою, як в кристалах, наприклад, шматок металу, то його ентропія буде невелика. Чому? Тому що знаючи становище одного атома в такій структурі, ви знаєте і положення всіх інших (вони ж збудовані в правильну кристалічну структуру), швидкості же атомів невеликі, тому що вони не можуть відлетіти далеко від свого становища і лише трохи коливаються навколо положення рівноваги.

Кристалічна структура гексаборида кальцію

Кристалічна структура гексаборида кальцію

Якщо шматок металу знаходиться в полі тяжіння (наприклад, підняте над поверхнею Землі), то потенційна енергія кожного атома в металі приблизно дорівнює потенційної енергії інших атомів, і пов’язана з цією енергією ентропія низька. Це відрізняє потенційну енергію від кінетичної, яка для теплового руху може сильно змінюватися від атома до атома.

Якщо шматок металу, піднятий на деяку висоту, відпустити, то його потенційна енергія переходить у кінетичну енергію, але ентропія зростати практично не буде, тому що всі атоми будуть рухатися приблизно однаково. Але коли шматок впаде на землю, під час удару атоми металу отримають випадковий напрям руху, і ентропія різко збільшиться. Кінетична енергія спрямованого руху перейде в кінетичну енергію теплового руху. Перед ударом ми приблизно знали, як рухається кожен атом, що тепер ми цю інформацію втратили.

Розуміємо другий закон термодинаміки

Другий закон термодинаміки стверджує, що ентропія (закритої системи) завжди збільшується. Ми тепер можемо зрозуміти, чому: бо неможливо раптово отримати більше інформації про микросостояниях. Як тільки ви втратили якусь інформацію про микросостоянии (як під час удару шматка металу об землю), ви не можете повернути її назад.

Давайте повернемося назад до гральних кісток. Згадаймо, що становище з сумою 59 має дуже низьку ентропію, але і отримати його не так-то просто. Якщо кидати кістки раз за разом, то будуть випадати ті суми (макростани), яким відповідає більша кількість мікростанів, тобто будуть реалізовуватися макростани з великою ентропією. Найбільшою ентропією володіє сума 35, і саме вона й буде випадати частіше від інших. Саме про це і говорить другий закон термодинаміки. Будь-яке випадкове (неконтрольоване) взаємодія призводить до зростання ентропії, принаймні до тих пір, поки вона не досягне свого максимуму.

Перемішування газів

І ще один приклад, щоб закріпити сказане. Нехай у нас є контейнер, в якому знаходяться два газу, розділених розташованої посередині контейнера перегородкою. Назвемо молекули одного газу синіми, а іншого — червоними.

Якщо відкрити перегородку, гази почнуть перемішуватися, тому що число мікростанів, в яких гази змішуються, набагато більше, ніж станів, у яких вони розділені, і все мікростан, природно, рівноймовірні. Коли ми відкрили перегородку, для кожної молекули ми втратили інформацію про те, з якого боку перегородки вона тепер перебуває. Якщо молекул було N, то загублено N біт інформації (біти і символи, в даному контексті, це, фактично, одне і теж, і відрізняються тільки якимось постійним множником).

Розбираємося з демоном Максвела

Ну і наостанок розглянемо рішення в рамках нашої парадигми знаменитого парадоксу демона Максвелла. Нагадаю, що він полягає в наступному. Нехай у нас є перемішані гази з синіх і червоних молекул. Поставимо назад перегородку, проробивши в ній невеликий отвір, у яке посадимо уявного демона. Його завдання — пропускати зліва направо тільки червоних, і справа наліво тільки синіх. Очевидно, що через деякий час гази знову будуть розділені: всі сині молекули виявляться зліва від перегородки, а всі червоні — праворуч.

Виходить, що наш демон знизив ентропію системи. З демоном нічого не сталося, тобто його ентропія не змінилася, а система у нас була закритою. Виходить, що ми знайшли приклад, коли другий закон термодинаміки не виконується! Як таке можна?

Цей парадокс вирішується, однак, дуже просто. Адже ентропія — це властивість системи, а нашого знання про цю систему. Ми з вами знаємо про систему мало, тому нам і здається, що її ентропія зменшується. Але наш демон знає про систему дуже багато — щоб розділяти молекули, він повинен знати положення і швидкість кожної з них (принаймні на підльоті до нього). Якщо він знає про молекулах все, з його точки зору ентропія системи, фактично дорівнює нулю — у нього просто немає відсутньої інформації про неї. У цьому випадку ентропія системи як була дорівнює нулю, так і залишилася рівною нулю, і другий закон термодинаміки ніде не порушився.

Але навіть якщо демон не знає всієї інформації про микросостоянии системи, йому, як мінімум, треба знати колір подлетающей до нього молекули, щоб зрозуміти, пропускати її чи ні. І якщо загальне число молекул дорівнює N, то демон повинен володіти N біт інформації про систему — а саме стільки інформації ми і втратили, коли відкрили перегородку. Тобто кількість втраченої інформації у точності дорівнює кількості інформації, яку необхідно отримати про систему, щоб повернути її в початковий стан — і це звучить цілком логічно, і знову ж таки не суперечить другому закону термодинаміки.

Предмет:
Тип документу: Інше
, , ,

Написати коментар