Несуперечність арифметики

09.08.2018

В цьому розділі мова піде про величезному значенні того факту, що докази простих висловлювань можуть мати довжину. Гедель нас навчив, що довести внутрішню несуперечність арфметики Пеано неможливо, проте всі вважають елементарну арифметику несуперечливої de facto і як ні в чому не бувало нею користуються.

Платонівські настрої, які панують в середовищі математиків, просто не дають їм засумніватися в безгрішності арифметики Пеано. Слідом за Кронекером багато стали вважати, що натуральні числа відкриті ним шляхом прямого прозріння і, отже, існують. А раз існують натуральні числа і підпорядковуються аксіомам Пеано, отже аксіоматика Пеано є даність, і її треба апріорі вважати достовірною. При цьому часто посилаються на очікувані або замышляемые поліпшені моделі аксіом Пеано, однак очікування і задуми самі по собі нічого не вирішують.

Несуперечність арифметики

Якщо ми звернемося до історії, ми побачимо безліч прикладів загальної впевненості в помилкових постулатах, включаючи математичні. Століттями евклідова геометрія вважалася адекватно описує властивості простору, поки Ріман, а потім Ейнштейн не довели зворотне. Статус аксіоми вибору, або аксіома Цермело, сьогодні ні в кого сумнівів не викликає, хоча на початку XX століття її прийнятність була предметом бурхливих суперечок. Сам Цермело згодом визнав, що головна причина для прийняття аксіоми вибору — це те, що без неї математики не змогли б довести цілий ряд результатів, необхідних їм у роботі; див. [19, с. 56]. І всі ці сумніви аж ніяк не можна — вони просто забуті більшістю наукового співтовариства. Нарешті, відзначимо, що впевненість Гільберта у можливості позитивного вирішення всіх без винятку математичних задач поділялася переважною більшістю його сучасників і була похитнута лише Геделем.

А адже логічно не виключена можливість того, що арифметика Пеано внутрішньо суперечлива. Ніяких свідчень на користь цього немає, і я зовсім не стверджую, що ймовірність цього висока — і все ж така можливість зберігається. Щоб розібратися з цим, розглянемо приклад з теорії груп. Візьмемо наступний набір аксіом:

(1) Існує безліч елементів G, підкоряється аксіомам групи.

(2) Група G конечна, але не ізоморфна жодним з відомих простих кінцевих груп.

(3) Група G — проста. Іншими словами, якщо N — підмножина G з певним набором властивостей з властивостями нормальної невырожденной підгрупи), то N = G.

Ці аксіоми можна порівняти з арифметикою Пеано. Третя аксіома аналогічна за формою аксіомі індукції (або схеми аксіом у логіці першого порядку) в тому плані, що, взявши довільний об’єкт з певними властивостями, вона визнає його рівним G (при цьому ми допускаємо вільний перехід туди і назад між підмножинами і предикатами). Хоча ми вважаємо групу G кінцевої, її розмір не задано, і значить не можна просто перерахувати всі об’єкти цього типу, навіть якщо на це буде відведено нескінченно багато часу. Єдиний спосіб зрозуміти роботу цієї системи аксіом — через докази на її основі.

Той факт, що аксіоматика, настільки близька до арифметики Пеано, може зажадати настільки довгого докази своєї суперечливості (якщо вона дійсно суперечлива, як вважають багато фахівців з теорії груп), змушує засумніватися і в несуперечності самої арифметики Пеано. Саме короткий доказ суперечливості аксіом Пеано може займати мільярд сторінок, і ми ніколи його не побачимо. А раз ми ніколи не зіткнемося з протиріччям, то яка нам різниця, суперечлива аксіоматика чи ні? Ми можемо і далі доводити теореми і розкривати цікаві взаємозв’язки між поняттями, навіть не підозрюючи про жахливу істину!

Така ситуація зовсім не означає, що всі наші зусилля марні. Є безліч прикладів минулого, коли виявлені суперечності в системах аксіом або неточності в доказах теорем успішно усувалися. У знаменитій книзі Імре Лакатоша наводиться приклад чудової здатності математиків реагувати на контрприклади, коли раз за разом виправлялися помилки у формулюванні теореми Ейлера [17]. Найвідоміше протиріччя було виявлено у формулюванні, наведеною в «Основах математики» Фреге, для якої знайшов парадокс Бертрана Рассела. Двадцять років знадобилося на усунення цієї проблеми шляхом залучення аксіоматики теорії множин і аксіоми вибору; при цьому формулювання теореми втратила свою початкову витонченість. Цікаві математичні знахідки (в математичному аналізі, принаймні) зазвичай досить живучі, терпимі до змін у аксіоматики і виліковні від технічних помилок в доказах, хоча іноді і вимагають розширення і уточнення умов теореми.

Предмет:
Тип документу: Інше
,

Написати коментар